2018牛客网暑期多校 A-AMonotonic Matrix【LGV算法】

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先备知识

LGV 算法 (Lindström–Gessel–Viennot lemma)

从{a1,a2,a3,...an}到{b1,b2,...bn}的不相交路径的条数

求以上矩阵的行列式，其中 e(a,b) 是从a到b的方法数，带入求行列式即可得到(a1,a2,…an) 到 (b1,b2,…bn) 的所有不相交路径的种数

题意：求有多少个n*m的矩阵满足

  • Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
  • Ai, j ≤ Ai + 1, j for all 1 ≤ i < n, 1 ≤ j ≤ m.
  • Ai, j ≤ Ai, j + 1 for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j < m.

解题思路：

如上图所示，两条红线分别是01和12的分界线，他们是(n, 0)到(0，m)的两条可重合但不相交的路径
分界线以及分界线以上的点是一种，分界线下是一种,平移其中一条变成(n-1, -1)到(-1，m-1)则：
起点$$a1,a2=(n,0),(n-1,-1)$$
终点$$b1,b2=(0,m),(-1,m-1)$$

附ac代码：

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2 * 1e3 + 10;
const int maxx = 2 * 1e3;
ll c[maxn][maxn];
void init()
{
    c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; ++i)
    {
        c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
        }
    }
}
ll mmod(ll a, ll b)
{
    ll res = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = (res + a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a + a) % mod;
    }
    return res;
}
ll pmod(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = mmod(res, a) % mod;
        b >>= 1;
        a = mmod(a, a) % mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    init();
    int n, m;
    while(~scanf("%d %d", &n, &m))
    {
        ll ans = (pmod(c[n + m][n], 2) - mmod(c[n + m][m - 1], c[n + m][n - 1]) + mod) % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
 
    return 0;
}